Quand les maths rencontrent les zombies !

C’est en regardant The Last of Us que l’idée m’est venue. La série, adaptée du jeu vidéo, met en scène une pandémie fongique qui transforme progressivement les humains en créatures agressives, des zombies quoi ! En parallèle, le souvenir du COVID-19 était encore frais — cette période étrange où chacun suivait des courbes, des R₀, des taux de reproduction. On était tous agrégés d’épidémiologie. Et là, entre deux épisodes, la question s’est posée naturellement : est-ce qu’on peut modéliser une épidémie de zombies de la même façon qu’une vraie épidémie ?

La réponse est oui. Et quelqu’un l’a fait avant moi.

L’article qui a tout déclenché

En 2009, Munz, Hudea, Imad et Smith ont publié un article intitulé “When Zombies Attack! : Mathematical Modelling of an Outbreak of Zombie Infection” dans Infectious Disease Modelling Research Progress. L’article est sérieux, peer-reviewed, et utilise des outils épidémiologiques standard. C’est cette base que j’ai reprise pour coder les modèles en Python, histoire de passer un bon moment et de réviser quelques notions au passage.

Les modèles SIR, et pourquoi les zombies compliquent tout

En épidémiologie classique, on découpe la population en compartiments. Le modèle de base — le SIR — distingue les Susceptibles (S), les Infectés (I) et les Retirés (R, c’est-à-dire guéris ou décédés). Les équations qui gouvernent l’évolution de ces trois populations forment un système d’équations différentielles ordinaires (EDO) couplées :

\[\frac{dS}{dt} = -\beta SI, \quad \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I, \quad \frac{dR}{dt} = \gamma I\]

Le terme $\beta SI$ est dit de masse d’action : il capture le fait que les rencontres entre susceptibles et infectés sont proportionnelles aux deux populations. Le paramètre $\beta$ est le taux de transmission, $\gamma$ le taux de guérison.

Ce qui rend les zombies particulièrement “embêtants”, c’est que les morts peuvent revenir. Ça introduit un flux supplémentaire depuis les retirés vers les zombies, via un taux de résurrection $\zeta$. Le modèle de base de Munz et al. (noté SZR) s’écrit :

\[\frac{dS}{dt} = \Pi - \beta SZ - \delta S\] \[\frac{dZ}{dt} = \beta SZ + \zeta R - \alpha SZ\] \[\frac{dR}{dt} = \delta S + \alpha SZ - \zeta R\]

où $\Pi$ est le taux de natalité, $\delta$ la mortalité naturelle, $\alpha$ le taux de destruction des zombies par les humains. L’analyse des équilibres montre que la coexistence humains-zombies est impossible : soit les zombies sont éradiqués, soit ils nous envahissent tous. Pas de milieu.

Vers un modèle plus réaliste : le SIZRQ

Munz et al. proposent ensuite plusieurs raffinements. Celui que j’ai trouvé le plus intéressant est le modèle SIZRQ, qui ajoute deux compartiments :

I (Infectés) : une classe de personnes mordues mais pas encore zombifiées — la période d’incubation observée dans la plupart des œuvres de fiction, The Last of Us inclus.
Q (Quarantaine) : les infectés et zombies mis à l’écart de la population générale.

Le système devient alors :

\[\frac{dS}{dt} = \Pi - \beta SZ - \delta S\] \[\frac{dI}{dt} = \beta SZ - \rho I - \delta I - \kappa I\] \[\frac{dZ}{dt} = \rho I + \zeta R - \alpha SZ - \sigma Z\] \[\frac{dR}{dt} = \delta S + \delta I + \alpha SZ - \zeta R + \gamma Q\] \[\frac{dQ}{dt} = \kappa I + \sigma Z - \gamma Q\]

Ici $\rho$ est le taux de passage de I vers Z (la vitesse de zombification), $\kappa$ et $\sigma$ les taux de mise en quarantaine des infectés et des zombies, $\gamma$ le taux d’évasion (ceux qui s’échappent, et sont éliminés avant de rejoindre Z).

Le taux de reproduction de base $R_0$

Pour le modèle SIZRQ, le taux de reproduction de base $R_0$ peut être calculé analytiquement via la méthode de la matrice de prochaine génération (van den Driessche & Watmough, 2002). Le résultat est :

\[R_0 = \frac{\rho \beta N}{(\rho + \delta + \kappa)(\alpha N + \sigma)}\]

Si $R_0 > 1$, l’épidémie persiste. Si $R_0 < 1$, elle s’éteint. La quarantaine agit en augmentant $\kappa$ et $\sigma$, ce qui réduit $R_0$ — exactement comme le confinement pendant le COVID cherchait à abaisser $R_e$ sous 1.

Résoudre numériquement en Python

L’intégration numérique de ce type de système est directe avec scipy. L’essentiel est de choisir un bon intégrateur — Euler (utilisé dans l’article original en MATLAB) est simple mais instable sur des intervalles longs. On lui préfère RK45 :

from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np

def model_SIZRQ(t, y, Pi, delta, beta, zeta, alpha, rho, kappa, sigma, gamma):
    Si, Ii, Zi, Ri, Qi = y
    dS_dt = Pi - beta*Si*Zi - delta*Si
    dI_dt = beta*Si*Zi - rho*Ii - delta*Ii - kappa*Ii
    dZ_dt = rho*Ii + zeta*Ri - alpha*Si*Zi - sigma*Zi
    dR_dt = delta*Si + delta*Ii + alpha*Si*Zi - zeta*Ri + gamma*Qi
    dQ_dt = kappa*Ii + sigma*Zi - gamma*Qi
    return [dS_dt, dI_dt, dZ_dt, dR_dt, dQ_dt]

S0, Z0 = 500.0, 2.0
y0 = [S0, 0.0, Z0, 0.01*S0, 0.0]
t = np.linspace(0, 30, 5000)

sol = solve_ivp(
    model_SIZRQ, [t[0], t[-1]], y0,
    args=(0.0, 0.0001, 0.0095, 0.0001, 0.005, 0.025, 0.01, 0.01, 0.01),
    t_eval=t, method='RK45'
)

## Un graphique ou deux

Figure 1 - Impact de la quarantaine sur le pic de zombies.

Ce que ça dit sur les vraies épidémies

La conclusion de Munz et al. est sans appel : face aux zombies, seule une attaque massive et rapide peut éviter le scénario catastrophe. La quarantaine ralentit, mais ne suffit pas. Un traitement (retour des zombies à l’état humain) permet la coexistence, mais à des niveaux de population très bas.

Ce qui est frappant, c’est que ces conclusions résonnent avec ce qu’on a observé pendant le COVID. La quarantaine partielle réduit $R_0$ mais ne l’amène pas forcément sous 1. Un vaccin efficace (analogue au traitement zombie) change fondamentalement la dynamique en créant une immunité durable — contrairement au traitement zombie qui ne confère aucune immunité, condamnant les humains guéris à être à nouveau susceptibles.

Les zombies, finalement, ne sont qu’un prétexte commode pour explorer des outils mathématiques bien réels. Les systèmes d’EDO couplées, les équilibres et leur stabilité, le calcul de $R_0$ par matrice de prochaine génération — tout ça s’applique sans modification aux maladies infectieuses, aux dynamiques de population, ou encore à la propagation de rumeurs sur les réseaux sociaux.

Le notebook complet une interface interactive pour explorer les paramètres, est disponible sur un repo GitHub.

Références

Munz, P., Hudea, I., Imad, J., & Smith?, R. J. (2009). When Zombies Attack! : Mathematical Modelling of an Outbreak of Zombie Infection. In J. M. Tchuenche & C. Chiyaka (Eds.), Infectious Disease Modelling Research Progress (pp. 133–150). Nova Science Publishers.